ボレル 集合。 数学におけるコンパクトとは何か

ボレル集合とは

ボレル 集合

における ボレル集合(ボレルしゅうごう、: Borel set)は、の系(あるいは系)から回の、、を取ることによって得られる集合の総称である。 名称はに由来する。 ボレル集合はにおいて重要である。 これは任意のボレル集合体上で定義された測度が空間内の開集合(あるいは閉集合)上での値のみから一意に定まることによる。 ボレル集合体上で定義された測度はと呼ばれる。 ボレル集合およびそれに付随するは、においても基本的な役割を果たす。 文脈によっては、位相空間の(開集合ではなくて)の生成するものとしてボレル集合を定めることもある。 多くの well-behaved 空間、例えば任意のなどでは、この定義は先の(開集合を用いた)定義と同値になるが、そうでない空間では違ってくる。 ボレル集合族の生成 [ ] ボレル集合族は最初に述べた意味で「生成的」に記述することができる。 即ち、ボレル集合族は空間の開集合から、補集合を取る操作と可算合併を最小の非可算順序数回反復的に適用して「生成」することができる。 この構成はに密接に関係している。 距離空間の場合は補集合を取らずに、可算合併と可算共通部分でボレル集合族を生成することも可能である(距離空間の閉集合は開集合の可算共通部分として表せることに注意)。 このボレル集合体の上にはが定義できる。 上で定義される実確率変数が与えられたとき、そのもまた定義によりこのボレル集合体上の測度になる。 上記の超限帰納法による構成において、その各段階で得られた集合のは、高々であることが示せる。 標準ボレル空間とクラトフスキーの定理 [ ] 以下は、ボレル空間に関する数あるの定理のうちの一つである。 ボレル空間というのは、はっきり決まった完全加法族を備えた集合の別名であり、用語を流用してその完全加法族に属する元を、このボレル空間のボレル集合と呼ぶ。 ボレル空間の全体は、ボレル空間の間のボレル可測写像を射としてを成す。 定理 Kuratowski. (この結果はを髣髴とさせる)。 ボレル空間として考えるとき、実数直線 R と、 R に可算集合を合併させたものとは、互いに同型である。 標準ボレル空間 standard Borel space とはに付随するボレル空間を言う。 標準ボレル空間は()その濃度によって決まること 、および任意の非可算標準ボレル空間は連続体濃度を持つことに注意せよ。 ポーランド空間の部分集合に対して、ボレル集合はポーランド空間上で定義される連続単射の像として得られる集合として特徴づけることができる。 しかし、単射でない連続写像の像は必ずしもボレルにならない(を参照)。 標準ボレル空間は、その上の任意のに関してとなる。 非ボレル集合 [ ] 実数直線の部分集合でボレル集合にならないものの例として、によるもの see Sect. 62, pages 76—78 を述べる。 この例は、存在を証明できるけれども構成的でないの場合とは対照的である。 ここで a 0 は何らかの、残りの a k は全て正整数である。 実は、 A はであり、また解析集合全体の成す集合族において完全 complete である [ ]。 更なる詳細はの項目および (特に Exercise 27. 2 ; p. 209, Definition 22. 9 ; p. 169, Exercise 3. 4 ii ; p. 14)を参照。 ただし、これが非ボレルであることの証明に選択公理を用いるので、構成的な例ではない。 関連項目 [ ]• () 参考文献 [ ] An excellent exposition of the machinery of Polish topology is given in Chapter 3 of the following reference:• , Real Analysis and Probability. Wadsworth, Brooks and Cole, 1989• , Measure Theory, D. van Nostrand Co. , 1950• , Real Analysis, Prentice Hall, 1988• , Classical Descriptive Set Theory, Springer-Verlag, 1995 Graduate texts in Math. , vol. 156• Srivastava, S. 1991 , A Course on Borel Sets, ,• Lusin, Nicolas 1927 , , Fundamenta Mathematicae Institute of mathematics, Polish academy of sciences 10: 1—95 ,. 外部リンク [ ]• Hazewinkel, Michiel, ed. 2001 , , , , ,• of Borel Sets in the , and the that have been formally proved about it.

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RandomVariable

ボレル 集合

Q 集合体の証明の問題です。 このサイトで質問するより自分で調べたり考えることをお勧めします。 このサイトは「自称専門家」がとんでもない回答をしたりしているのですから。 Q ボレル集合族を、イマイチ上手く捉えられません。 頭の悪い自分なりに考えたのですが、 自分の解釈が正しいのか全く分かりません。 指摘お願いします。 このBが、ボレル集合族で、ボレル集合族の元をボレル集合という。 ???って感じです。 ちなみに私の解釈だと、全ての集合には、そのボレル集合族が存在します。 で、ある集合がボレル集合族ということは、その集合の元を集合とする集合があるってことです・・・? 頭が悪いので、むちゃくちゃ簡単に教えてもらわないと理解出来ません。 図書館で確率論の教科書を色々呼んだんですが、難しく書かれてあって、???です。 助けて下さい。 ボレル集合族を、イマイチ上手く捉えられません。 頭の悪い自分なりに考えたのですが、 自分の解釈が正しいのか全く分かりません。 指摘お願いします。 このBが、ボレル集合族で、ボレル集合族の元をボレル集合という... A ベストアンサー ANo. 2です。 すでにANo. 4で指摘されていますが、ボレル非可測なルベーグ可測集合の作り方は以下の通りです。 ルべーグ非可測集合を用意する これには選択公理を使う 2. カントール関数を使って1のルベーグ非可測集合をカントール集合の中に写像する 3. 2の像はカントール集合の部分集合なのでルベーグ測度ゼロ、従ってルベーグ可測になる 4. カントール関数は連続なので2の像はボレル可測ではない これがボレル可測なら1もボレル可測になってしまう あと、検索したら非ボレル集合の構成方法がありました。 wikipedia. A ベストアンサー まず、Xとxが紛らわしいですね。 確率変数というのは、最初に決めた、現象の集合と、実数との対応です。 サイコロの例がよく出されますが、逆にわかりにくくしている面もあります。 ところが、数学は「数」を扱う世界なので、文字は直接は扱えません。 そこで、現象と数の対応を確率変数とします。 確率変数は、このように、本来数学では扱えない「現象の集合」を、数の集合に変換するのに使うのです。 つまり、実数を適当に一つ持ってきたのが、tです。 という意味です。 まず、Xとxが紛らわしいですね。 確率変数というのは、最初に決めた、現象の集合と、実数との対応です。 サイコロの例がよく出されますが、逆にわかりにくくしている面もあります。 ところが、数学は「数」を扱う世界なので、文字は直接は扱えません。... この式は領域D内にある、特異点を含む単一曲線を示していると考えてください。 ここでまた大事なのが特異点の極といわれるものです。 極は一般にはk位の極などといいます。 f z の特異点における留数を求めたい場合は、f z と求めたい特異点の極を求める必要があります。 Q 分布関数F x の問題が解けないです。 お手数をかけますが、お知恵をいただきたく思います。 以下問題です。 2 確率密度関数を求めなさい。 3 の解法が全く分かりません…orz 取りあえず、 1 2 を求めてみます。 Q ルベーグ可測集合を上手く捉えられません。 頭が悪いので簡単に説明して下さい。 長さ確定図形・・・・・・・・・・・・ 1次元ルベーグ可測集合 面積確定図形・・・・・・・・・・・・ 2次元ルベーグ可測集合 体積確定図形・・・・・・・・・・・・ 3次元ルベーグ可測集合 という。 私の疑問は、Q1.長さや面積や体積を持つ図形以外に、ルベーグ可測集合に属するものは無いのか??? ということと、 Q2.「全ての図形はルベーグ可測というわけではない」 とは、どういう意味なのか??? ということです。 測ることが出来ないくらい巨大な(宇宙サイズ?)図形に対して言ってるんですかね??? ちなみに、 面積(体積)がゼロの図形は、面積(体積)が0で確定しているので、面積(体積)を持つというそうです。 ってことは、面積(体積)0の図形はルベーグ可測集合に属しますよね? 面積が0の図形とは、円盤じゃなくて円周のこととか、 体積が0の図形とは、壁の無いお家(柱、骨組み)のこととか・・・ですか??? なんか的外れなことを言っていたらすみません・・・・ すっごく分かりやすく教えて下さい。 ルベーグ可測集合を上手く捉えられません。 頭が悪いので簡単に説明して下さい。 長さ確定図形・・・・・・・・・・・・ 1次元ルベーグ可測集合 面積確定図形・・・・・・・・・・・・ 2次元ルベーグ可測集合 体積確定図形... A ベストアンサー 次元は本質的ではないです。 ちょっと誤解をうみやすい説明でしたね。 すみません。 理解のために、ユークリッド空間に限定してみましょう。 例えば数直線(一次元)を全体集合とする場合で考えましょう。 そして、長さの概念を考えましょう。 ひとつの点(からなる集合)は、長さが0です。 0、1区間[0,1](これも集合です)の長さは1です。 数直線全体の長さは無限大です。 (0でも無限大でも、定まっていれば長さです)ここまではえがける図で表現できます。 それでは、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長さは? これは図ではえがけませんが集合です。 集合Xの長さを考える時に、複数の細かい区間で覆っていくことを考えます。 有理数の集合は可算ですから、有理数をQ1,Q2,Q3,Q3,,,と番号をふることができます。 この場合、覆う区間の長さの合計は、等比級数の和で1になります。 このように、おおう区間をどんどん細かくしていくと、区間の長さの合計は0に収束します。 この収束値0を、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長さとしましょうというのがルベーグの考え方です。 (有理数からなる集合Xは可算ですから、こんなことは本当は必要ないのですが)、長さを決めるこのような方法を、数直線のいろいろな部分集合に適用して考えていきましょうというわけです。 以上の方法で集合の長さが決まり、どんな分割の方法であれ、わけられた部分の長さの合計が、その集合の長さと一致すれば、正しく長さを定めたことになりますが、それができない場合があるというのが、ルベーグ可測でない場合です。 例えば、以下のリンクにあります pauli. isc. chubu. pdf 平面(2次元)を全体集合とし、その部分集合の面積を考える場合、長方形からなる区間でおおっていくことになります。 そして、おおう区間を細かくしていって、、、おおう長方形の合計の面積の収束先を面積としましょうというわけです。 次元は本質的ではないです。 ちょっと誤解をうみやすい説明でしたね。 すみません。 理解のために、ユークリッド空間に限定してみましょう。 例えば数直線(一次元)を全体集合とする場合で考えましょう。 そして、長さの概念を考えましょう。 ひとつの点(からなる集合)は、長さが0です。 0、1区間[0,1](これも集合です)の長さは1です。 数直線全体の長さは無限大です。 (0でも無限大でも、定まっていれば長さです)ここまではえがける図で表現できます。 それでは、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長... 色々ためしてみたのですが判例とはなりえませんでした。 どこか勘違いしているように思います。 ご教授いただけたら幸いです。 よろしくお願い致します。

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ハイネ・ボレル(Heine

ボレル 集合

この数の集合は「<」の記号が使われており,高校までで数直線の「開区間」という名前がついていました. 位相空間では「開区間」をより一般的に「開集合」といいます. この開集合の中に含まれる点(数)は,含まれない点よりも点aに近いと言うことができます. このような議論は,点の収束や極限に使われます. 一般的には距離空間における開集合とは,その集合に属するどの点も,自身の周り(近傍)がその集合の中に属する集合のことを言います. この自身の周り(近傍)を数学的にきちんと定義するために,距離の定義が必要なわけです. 距離空間では,距離から開集合を決めることができ,開集合はある意味,点の近さや収束を議論するために必要となります. このように,点と点の間の距離を決めると開集合が定義でき,位相空間とは,この開集合が定義された集合のことです. 中学・高校では深く考えずに絶対値による距離(と開集合や開区間)を考えますが,抽象化された数学において,収束を同じように議論するための道具として距離を一般化した位相を考えるという動機が生まれます. そして,開集合の重要な性質として,次の3つがあります. 集合全体と空集合は開集合 2. 開集合の任意個(無限個でも)の和集合も開集合 3. 開集合の有限個の共通部分も開集合 位相空間では,この開集合の性質を逆に開集合の定義とします. お前はもう覆われている さて,この位相空間におけるコンパクトについて述べます. まずその位相空間を覆うように開集合を持ってきます. 覆い方は任意で,無限個の開集合で覆ってもよいとします. このとき,無限個の開集合で覆ったとしても,その中からたった有限個の開集合を選択するだけで覆えているときその位相空間をコンパクトといいます. 私が大学のとき,初めてコンパクトを習った時,解析学の教授から言われたのは, 「お前はもう覆われている」でした. 距離空間において,閉区間[a,b]はコンパクトになります. 証明は区間縮小法でできます. そして区間[a,b]を2分割することを考えます. 分割したどちらか少なくとも一方は無限個の開集合で覆う必要があります. よって無限個の開被覆が必要と思われていた区間Iは1この開集合にすっぽり収まってしまうので,矛盾となり結局閉区間[a,b]はコンパクトになります. これはn次元ユークリッド空間においても成り立ち,ハイネ・ボレルの被覆定理といいます. この定理より,どんな関数に対しても,それが連続であれば,コンパクト空間上で必ず最大値・最小値を持つことが言えます. 個々の関数についてそれぞれ考える必要はなく,コンパクト性があればアプリオリに説明できるようになります. コンパクトは本質を追求した結果,対象のラベルや証明を見やすくするツールとなるのです. また,コンパクト性が持つ,「有限個で覆える」という性質も無限の問題を有限個の問題に落とし込んで議論できるというメリットもあります. コンパクト性とはある種の有限性です. コンパクトのまとめ コンパクトとは,位相空間の一つの性質で,ある種の有限性です. 無限個の開被覆から有限個を選んで覆える,「お前はもう覆われている」状態がコンパクトです. ユークリッド空間において通常の絶対値による距離を考えた場合は,コンパクトとは有界閉集合のことになり,イメージしやすくなります. 有界閉集合の本質を突き詰めるとコンパクトになります. そして,コンパクトを考える一つの動機は,証明を感覚的・経験的なものからアプリオリにできる素晴らしいラベルとなるからです. 数学は様々な抽象的な概念があり,初見では恩恵が分からないことが多々あります. しかし,当然その概念を考える理由,恩恵があるはずで,それを意識すると学ぶ動機付けが変わり見通しもよくなります.

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