正 射影 ベクトル。 内積 [ベクトル解析/内積と正射影]

【高校数学B】正射影ベクトル(直交射影ベクトル)

正 射影 ベクトル

まとめると• 行列表現 [ ] 適当なベクトル方向への射影はとして表現することができる。 一般化 [ ] ベクトルのおよびベクトル間のの概念は任意の n-次元に対して一般化することができるから、ベクトルの直交射影、別のベクトルに対する射影・反射影の概念も同じくそのような状況設定に対して一般化することができる。 内積空間によってはその内積をで与えることができるものもあるが、そうでない場合には射影や反射影の厳密な定義においては点乗積ではなくその空間における内積を用いることにしなければならない。 例えば三次元内積空間に対して、ベクトルの射影・反射影の概念は「平面への」射影および「平面からの」反射影という形で一般化される。 ベクトルの平面への射影とはその平面へののことであり、平面からの反射影はその平面に直交する直線の上への直交射影として与えられる。 これらはともにベクトルであり、前者は平面と平行、後者は平面に垂直である。 与えられたベクトルと平面の組に対して、そのベクトルのその平面に関する射影と反射影との和はもとのベクトルに一致することに注意する。 同様に、より高次元の内積空間ではベクトルの射影・反射影の概念をに対する射影・反射影として一般化できる。 ()においては、射影・反射影の概念はさらに拡張されて、任意の可逆 k-ブレードに対する一般の ()の射影・反射影の概念が与えられる。 参考文献 [ ].

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正射影ベクトルの公式の証明と使い方

正 射影 ベクトル

まとめると• 行列表現 [ ] 適当なベクトル方向への射影はとして表現することができる。 一般化 [ ] ベクトルのおよびベクトル間のの概念は任意の n-次元に対して一般化することができるから、ベクトルの直交射影、別のベクトルに対する射影・反射影の概念も同じくそのような状況設定に対して一般化することができる。 内積空間によってはその内積をで与えることができるものもあるが、そうでない場合には射影や反射影の厳密な定義においては点乗積ではなくその空間における内積を用いることにしなければならない。 例えば三次元内積空間に対して、ベクトルの射影・反射影の概念は「平面への」射影および「平面からの」反射影という形で一般化される。 ベクトルの平面への射影とはその平面へののことであり、平面からの反射影はその平面に直交する直線の上への直交射影として与えられる。 これらはともにベクトルであり、前者は平面と平行、後者は平面に垂直である。 与えられたベクトルと平面の組に対して、そのベクトルのその平面に関する射影と反射影との和はもとのベクトルに一致することに注意する。 同様に、より高次元の内積空間ではベクトルの射影・反射影の概念をに対する射影・反射影として一般化できる。 ()においては、射影・反射影の概念はさらに拡張されて、任意の可逆 k-ブレードに対する一般の ()の射影・反射影の概念が与えられる。 参考文献 [ ].

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内積の利用5

正 射影 ベクトル

正射影に関する問題で疑問があります。 とあったのですが、考えてもよくわかりません。 例えばbのa上への正射影を求めろといった問題であればaから垂直となる線を引き、内積と単位ベクトルを出して解いていく手法は思いつきます。 しかし、上記の問題のようなxの正射影yといわれると、xの影をy上につくれないのではないかと考えてしまいます。 どのように考えていけばいいのか教えてください。 しかし、このyというのはy軸に平行なのでしょうか。 cに対するxの正射影がzとして、xからcに垂直に交わるベクトルyというのはy軸に平行でないと思ってしまうのですが、空間で考えると混乱してしまいます。 これが空間ベクトルを平面に射影するというイメージでよいのではないでしょうか。 空間ベクトルの平面に対する正射影の方法は、申し訳ありませんが私は知りません。 ですがベクトルをベクトルへ正射影したときの、正射影ベクトルを求めることは内積を使えば次元に関係なく容易にできます。 例えば などを参考にして下さい。 上のURLの議論は次元に関係なく行うことができますので、もちろん三次元ベクトルに対しても同様にほどこすことができます。 (このベクトルcを導出するのには外積を用いました。 ご存じだとは思いますが、知らなければ外積をwikipediaなりで調べてみてください。 cがaとbの両方に垂直なことは内積をとれば直ちにわかるでしょう。 ) ベクトルcに対するこの正射影ベクトルを例えばzとしておきましょう。 まず図をかいてじーっと眺めてみてください。 これは質問者様への宿題としましょう。 少しだけ発展的な追記 ベクトルからベクトルへの正射影の公式は、内積の計算さえできれば問題なく成り立ちます。 つまり発展的な線形空間の問題では次元の数が3とか4とかの有限なものに限らず、次元が無限に存在する空間にも内積さえ計算できるのであれば成り立つのです。 ここら辺の理論は「ヒルベルト空間 Hilbert space 」というものの周辺で学ぶことができます。 ご興味があればどうぞ。 ベクトルの始点は任意にとることができますから、zの終点とyの始点は必ずしも一致しているわけではありません。 「zの終点とyの始点を一致するようにとることで和を考えることができて、それがxと一致する」というのが正確なところです。 細かいですが。 y軸に平行ではありません。 「aとbで張られた平面に対する正射影」という問題であれば、y軸に平行である必要なんかないからです。 y軸に平行なベクトルを求めたいのであれば、aとbの張る平面に対しての正射影ではなくxz平面に対しての正射影ということになります。 これを求めるのは簡単で、単にベクトルのy成分を0にして、x成分,z成分をそのままにしたベクトルが正射影になります。 追記: 平面に対して直接、正射影ベクトルを計算する方法もあるようです。 その計算方法をフローで示します。 ・aとbをGram-Schmidtの方法によって、正規直交化します。 ) またyはaとbの線形結合で表現されているから、aとbの張る平面の上にのっていることも簡単にわかります。 上の2つの結果は、こうして得られたyが正射影ベクトルに他ならないということを示しています。 ただ、正規直交化の計算がめんどくさいので最初に紹介した方法の方が計算が楽かもしれません。

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